Harmônicos

Quando encosto com extrema leveza meu dedo médio da mão esquerda sobre a região do 12º traste da 6ª corda e a faço vibrar, ouço o som mi uma oitava acima. É o chamado primeiro harmônico. Ao colocar levemente o dedo na corda crio um ponto nodal que a divide em dois segmentos iguais, dobrando sua freqüência. Ao mesmo tempo estou inibindo o ventre que a corda criaria nesta região se estivesse solta, ou seja, abafo o som fundamental.

Só para recordar: quando toco uma corda do violão crio nesta corda uma onda estacionária. Não é uma onda senoidal simples, mas é feita de várias componentes que configuram os vários timbres característicos do som do violão e que sempre me deixam encantado. Vários compositores aproveitam este efeito em suas composições como por exemplo Villa-Lobos em seu Prelúdio IV.

Há uma lustração animada de superposição de harmônicos no site http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/standingWaves/standingWaves1/StandingWaves1.html. É muito interessante porque permite escolher quais harmônicos quero ver superpostos e em que velocidade de animação. Há no entanto um deslocamento gráfico entre a corda real do instrumento e o gráfico animado.

Mas além deste efeito mágico e encantador há também aproveitamentos práticos que é possível empregar na afinação do instrumento. Sabendo, por exemplo que posso produzir uma terça maior como harmônico de qualquer corda, ao encostar suavemente o dedo na terceira corda (sol = g) sobre a região do 4º ou do 9º traste e produzir assim a nota si (=b), obtenho a mesma nota quando fizer a mesma coisa na região do 5º traste da 2ª corda (si = b).

Veja na tabela seguinte dados bem precisos




































Só para localizar, segue uma tabela com a maioria das notas tocadas normalmente no violão, classificadas horizontalmente por casa e verticalmente por altura.













solta















Acima, a mesma tabela na ordem em que as cordas realmente estão posicionadas no violão: a 6ª corda, mais grave, na região superior.
Abaixo, as notas naturais e com sustenido, um pouco maior, para quem gosta de ver as coisas várias vezes, e com clareza.























Abaixo ressaltei o 4º harmônico (terça maior) que obtenho nas casas 4, 9, 16 e 28(imaginário). Situo o dedo ligeiramente à esquerda do traste. Já o 2º harmônico (quinta justa) obtenho em cada corda sobre o traste 7 e também sobre o traste19.

























A seguir ressaltei o 1º harmônico (oitava) que obtenho sobre o 12º traste

Temperamento justo ou mesotônco

Chama-se temperamento justo (em inglês just intonation, em francês gamme naturelle, em alemão reine Stimmung) a afinação dos instrumentos que segue os sons da série harmônica natural, não só a oitava a quinta e a quarta do sistema pitagórico mas também a terça maior.

Também falamos de temperamento justo quando os sons são entoados de maneira harmônica em coros a capela ou instrumentos com tons não fixos, sem traste como o violino.

A coma pitagórica

Na Música a coma pitagórica (em inglês pythagorean comma, em francês comma pythagoricien, em alemão pythagoreische Komma) é um intervalo de um oitavo de tom. Não é um intervalo musical autônomo. Trata-se da diferença entre duas somas: uma, de sete oitavas e outra, de 12 quintas. Embora pareça uma assunto puramente teórico, tem conseqüências práticas na construção e afinação de instrumentos de tons fixos: de teclado (piano, órgão, cravo); de trastes fixos (violão, guitarra) e de sopro com orifícios (flautas doce, transversa, clarinete, oboé, fagote).

Filolau de Crotona (470 a.C. – 399 a.C.) foi o primeiro a definir a coma pitagórica. Mas o primeiro cálculo da razão proporcional como sendo 531441:524288 encontra-se em Euclides (360 a.C. – 280 a.C.); este cálculo foi feito tendo por base a oitava com a razão proporcional 2:1 e a quinta justa com a razão proporcional 3:2.

Para ilustrar de maneira concreta gosto de fazer um paralelo com pilhas de 84 pacotes: uma organizada de 7 em 7, oura de 12 em 12. É que a quinta justa é constituída por 7 semitons e a oitava, por 12 semitons. A altura final deveria ser a mesma. Mas na afinação por intervalos justos a soma dá resultados diferentes.


























O valor da coma pitagórica pode ser extraído da tabela seguinte, na qual a superposição de 12 quintas justas, que mantém a razão proporcional de 2:3 entre suas freqüências, deveria chegar ao mesmo dó que as 7 oitavas superpostas, partindo da mesma nota inicia.





















Primeiro intervalo de quinta:
dó - sol
2:3.








Segundo intervalo de quinta:
sol - ré
4:9.








Terceiro intervalo de quinta:
ré - lá
8:27.








Quarto intervalo de quinta:
lá - mi
16:81.








Quinto intervalo de quinta:
mi - si
32:243.








Sexto intervalo de quinta:
si - fá#
64:729.








Sétimo intervalo de quinta:
fá# - dó#
128:2187.








Oitavo intervalo de quinta:
dó# - sol#
256:6561.









Nono intervalo de quinta:
sol# - ré#
512:19683.








Décimo intervalo de quinta:
ré# - lá#
1024:59049.









Décimo primeiro intervalo de quinta:
lá# - mi#
(= sib - fá)
2048:177147.







Décimo segundo e último intervalo de quinta:
mi# - si#
(= fá - dó)
4096:531441.

Afinação temperada

Seja bem-vindo.


Quando quero afinar meu violão clico no link abaixo que é da Wikipedia em alemão. Este link abre meu player e toca as notas mi grave (corda mais espessa), lá, ré, sol, fá e mi agudo (corda mais fina).

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Standard-Stimmung.mid


Com o passar dos milênios vários sistemas de afinação foram adotados. Vejamos a evolução do sistema de temperamento, que tenta resolver o problema da coma pitagórica de maneira equivalente.

Temperamento igual

O sistema de afinação de temperamento igual (em inglês equal temperament , em francês gamme tempérée, em alemão gleichstufige ou gleichschwebende) foi calculado pela primeira vez em 1584 por Chu Tsai-yü (Huaiqing 1536 - Henan, hoje Quinyiang 1610), em que a oitava era dividida em 12 intervalos iguais com a razão de 1 : 1,05946309 entre as freqüências de cada semitom vizinho porque este número multiplicado 12 vezes por ele mesmo dá o número 2

Ou seja
1,05946309 x 1,05946309 = 1,12246204
1,12246204 x 1,05946309 = 1,1892071
1,1892071 x 1,05946309 = 1,25992103
1,25992103 x 1,05946309 = 1,33483983
1,33483983 x 1,05946309 = 1,41421353
1,41421353 x 1,05946309 = 1,49830704
1,49830704 x 1,05946309 = 1,58740101
1,58740101 x 1,05946309 = 1,68179278
1,68179278 x 1,05946309 = 1,78179738
1,78179738 x 1,05946309 = 1,88774856
1,88774856 x 1,05946309 = 1,99999992 que é praticamente 2


Mas esse cálculo ainda não havia chegado à Europa quando o italiano Gioseffo Zarlino (Chioggia, 22 de março de 1517 - Veneza, 4 de fevereiro de 1590)


































Freqüências das notas segundo os três sistemas, dó = 264 Hz. Veja que fá, a quarta justa de dó, fica um pouco mais agudo no sistema temperado e a terça mi e a quinta sol, um pouco mais graves.

Afinação do violão

Como é bom quando se pode ler um texto ao mesmo tempo claro e rico em informações. Direto e objetivo mas abrangente.

Quando quero afinar o meu violão rapidamente clico em

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Standard-Stimmung.mid

.

A primeira coisa que faço para tocar violão é afinar seus sons: colocar seus sons no padrão de alturas estabelecido pela História da Música, pela tradição dos instrumentos. Dito de outra maneira, afinar é ajustar o tom da nota de modo que produza o mesmo número de vibrações que o tom padrão. Claro, há também músicas com arranjos diferentes que exigem afinações fora do padrão, mas deixo isso para músicas especiais.


ALTURA: AGUDOS E GRAVES

Os sons mais agudos são percebidos como mais finos, mais claros, mais altos e tem uma vibração mais rápida, ou seja, uma freqüência mais alta, maior número de vibrações por segundo. Os sons mais graves são considerados mais grossos, mais escuros, mais baixos, mais pesados pela maioria e de fato tem uma freqüência mais baixa, menor número de vibrações por segundo.

A altura do som produzido por uma corda de violão depende da espessura, do comprimento e da tensão, isto é, da força física com que esta corda foi esticada.

Os sons mais agudos são gerados pelas cordas com espessura mais fina. A corda mais fina do violão é a chamada 1ª corda e quando bem afinada deve gerar uma nota mi agudo (em inglês, e). A 2ª corda deve gerar a nota si (b), a 3ª corda deve gerar a nota sol (g), a 4ª corda, a nota ré (d), a 5ª, lá (a) e a mais grossa, chamada 6ª corda, a nota mi grave (e).

Resumindo:

1ª corda = mi agudo = e

2ª corda = si = b

3ª corda = sol = g

4ª corda = ré = d

5ª corda = lá = a

6ª corda = mi grave = e.

Quanto maior a força exercida sobre a corda, ou seja, quanto mais alta a tensão, mais agudo fica o som. No violão a tensão das cordas é controlado pelas tarraxas chamadas cravelhas. A cada corda corresponde uma cravelha (em inglês machine head). O cravelhal ou conjunto de cravelhas também chamado cabeça, mão ou palheta (em inglês headstock) fica na extremidade externa do braço do violão.

Muitos violões já vem com afinador digital. Isso não quer dizer que o violão se afine sozinho. O que chamam de afinador na verdade é um medidor de freqüência. Se o ponteiro passar da posição vertical para a direita, o som está agudo demais. Então é preciso soltar, afrouxar a corda girando a cravelha lentamente até o som ficar mais grave.
Para quem não tem nenhuma prática em afinar violão, é melhor pedir ajuda de alguém que saiba fazê-lo. Observe com muita atenção seu procedimento. Concentre seu olhar e aguçe seus ouvidos. Peça para repetir se não registrou algum segredo.

Nunca use muita força, toque a corda com leveza. Uma corda puxada com muita força gera inicialmente um som mais agudo do que o normal.

Quando dois sons estão um pouco desafinados, produzem uma onda resultante constituída por batimentos ou seja, uma variação periódica da amplitude. A freqüencia da variação peródica vai ser igual à diferença entre as freqüências de cada um dos sons. Quando afino dois instrumentos ou duas cordas entre si, minha tarefa é reduzir estes batimentos praticamente a zero.

E porque não reduzo os batimentos a zero total? Por causa de uma pequena diferença necessária para fechar o círculo das quintas chamada coma pitagórica. Na afinação temperada, a afinação das quintas não é perfeitamente justa, mas um nadinha abaixo.

Esse nadinha é explicado num artigo científico por Alexandre Torres Porres e Jônatas Mazolli, da Universidade Estadual de Campinas em http://www.proceedings.scielo.br/scielo.php?pid=MSC0000000102005000100016&script=sci_arttext

Se você já conhece a afinação pitagórica, pode pular o próximo artigo.

Afinação pitagórica

Quando tangemos uma corda do violão lhe acrescentamos energia, e esta energia transforma-se numa onda. Através da caixa de ressonância do violão esta onda é transmitida pelo ar até nosso ouvido. Esta onda é tão rápida que não conseguimos ver seu movimento. Por isso é interessante fazer experiências práticas e ver como se pode produzir uma onda estacionária numa corda.













Quando agitamos uma corda de certa maneira produzimos uma onda que a percorre.


















Enquanto na corda do violão se produz uma onda transversal, no ar ela se torna longitudinal podendo ser comparada a um trem de ar comprimido.

O som e a afinação já foram objeto de estudo do matemático e filósofo grego Pitágoras de Samos (570 - 497 a.C) há mais de 2500 anos. Pitágoras fazia experiências com cordas, flautas, mqrtelos e sinos.

























Diz certa tradição que Pitágoras demonstrou a relação entre a altura da nota e o peso pendurado na corda que o produz. Também demonstrou a relação entre a altura da nota e o comprimento da corda. Para isso teria usado o monocórdio.

Além disto estabeleceu relações matemáticas entre os intervalos melódicos da oitava, da quinta e da quarta e os respectivos comprimentos das cordas. Assim a proporção 1:2 produz o intervalo de oitava, ou seja, se dividimos uma corda exatamente no meio e deixamos vibrar esta metade produzimos um intervalo de oitava. A proporção 2:3 produz o intervalo de quinta. Se por exemplo deixamos vibrar 2/3 da corda mi obtemos a nota si. A proporção 3:4 produz o intervalo de quarta. Se por exemplo deixamos vibrar 3/4 da corda mi obtemos a nota lá, que é a quinta corda. Assim fica fácil explicar a afinação do violão.











A 6ª corda é a mais espessa e fica mais em cima. Ela produz o tom mi (e)






Se deixarmos vibrar apenas 3/4 da 6ª corda (mi = e) pressionando-a com um dedo antes do quinto traste, obtemos a nota lá, que é o som da 5ª corda. Temos que fazer com que o som da 5ª corda (lá = a) tenha a mesma altura de 3/4 da 6ª corda.



Afinada a 5ª corda (lá=a) e deixando vibrar 3/4 desta corda pressionando a com um dedo antes do quinto traste, obtemos a nota ré, que é o som da 4ª corda. Temos que fazer com que a altura do som da 4ª corda (ré = d) fique igual à de 3/4 da 5ª corda afinada anteriormente.




Afinada a 4ª corda (ré = d) e deixando vibrar 3/4 desta corda pressionando a com um dedo antes do quinto traste, obtemos a nota sol, que é o som da 3ª corda. Temos que fazer com que a altura do som da 3ª corda (sol = g) fique igual à de 3/4 da 4ª corda afinada anteriormente.



Afinada a 3ª corda (sol) e deixando vibrar 4/5 (atenção!!!) desta corda pressionando a com um dedo antes do quarto (atenção) traste, obtemos a nota si, que é o som da 2ª corda. Temos que fazer com que a altura do som da 2ª corda fique igual à de 4/5 da 3ª corda.



Para conferir, podemos também pressionar a 6ª corda (mi) com um dedo antes do 7º (ou 19º) traste obtendo a nota si da 2ª corda, que deverão ter a mesma altura.

Afinada a 2ª corda (si, em imglês b, em alemão h) e deixando vibrar 3/4 (atenção!!!) desta corda pressionando a com um dedo antes do quinto (atenção) traste, obtemos a nota mi agudo, que é o som da 1ª corda. Temos que fazer com que o som da 1ª corda (mi agudo) fique com a mesma altura do som de 3/4 da 2ª corda.

Para conferir podemos fazer vibrar 1/4 da 6ª corda ao encostar levemente um dedo na região da boca do violão produzindo assim um som harmônico que deverá ser igual aoda 1ª corda.





Por fim uma homenagem a Pitágoras através de um recorte de um quadro de Rafaello Sanzio "Escola de Atenas" pintado em 1509

Pronto, aí estão as 6 notas do violão bem afinadas.

Como o som é um movimento oscilatório de partículas, suas propriedades podem ser melhor visualizadas observando-se o balanço de um pêndulo.








O tempo necessário para que um pêndulo vá e volte ao lugar inicial depende do comprimento da corda (l) e da força exercida sobre ele, no caso, a força da gravidade (g).











É preciso muito mais corda do que a gente imagina para fazer o pêndulo gastar mais tempo


É porque enquanto crescimento do tempo é linear, o crescimento do comprimento é exponencial.

Isto também explica por que o arranjo dos trastes do braço do violão têm um aspecto logarítmico. Os trastes vão ficando cada vez mais separados quanto mais grave for a nota.